ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111405
Темы:    [ Отношение площадей подобных треугольников ]
[ Отношения площадей ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC через точку M , лежащую на стороне BC , проведены прямые, параллельные сторонам AB и AC . Площадь образованного при этом параллелограмма составляет площади треугольника ABC . Найдите отношение .

Решение

Пусть указанные прямые пересекают стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно. Обозначим =k , SΔ ABC=S . Треугольник KBM подобен треугольнику ABC с коэффициентом , а треугольник LMC подобен треугольнику ABC с коэффициентом , поэтому

SΔ KBM = ()2· SΔ ABC=()2· S,


SΔ LMC = ()2· SΔ ABC=()2· S.

Тогда, если S1 – площадь параллелограмма AKML , то
S1 = SΔ ABC-SΔ KBM-SΔ LMC = S-()2· S-()2· S=


=S(1--) = = S,

откуда находим, что k= или k=5 .

Ответ

5:1 , 1:5 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4531

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .