Задача 111405

Темы:    [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Отношения площадей ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC через точку M , лежащую на стороне BC , проведены прямые, параллельные сторонам AB и AC . Площадь образованного при этом параллелограмма составляет площади треугольника ABC . Найдите отношение .

Решение

Пусть указанные прямые пересекают стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно. Обозначим =k , S_{Δ ABC}=S . Треугольник KBM подобен треугольнику ABC с коэффициентом , а треугольник LMC подобен треугольнику ABC с коэффициентом , поэтому

S_{Δ KBM} = ()2· S_{Δ ABC}=()2· S,

S_{Δ LMC} = ()2· S_{Δ ABC}=()2· S.
Тогда, если S1 – площадь параллелограмма AKML , то
S1 = S_{Δ ABC}-S_{Δ KBM}-S_{Δ LMC} = S-()2· S-()2· S=

=S(1--) = = S,
откуда находим, что k= или k=5 .

Ответ

5:1 , 1:5 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4531