Задача 111407

Темы:    [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Отношения площадей ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC через основание D высоты BD проведена прямая параллельно стороне AB до пересечения со стороной BC в точке K . Найдите отношение , если площадь треугольника BDK составляет площади треугольника ABC .

Решение

Пусть S – площадь треугольника ABC . Обозначим = = k . Треугольник DKC подобен треугольнику ABC с коэффициентом , поэтому

S_{Δ DKC} = · S_{Δ ABC} = · S,
а т.к. = = , то
S_{Δ ADB} = · S_{Δ ABC} =· S.
По условию задачи
S_{Δ ABC} - S_{Δ DKC}-S_{Δ ADB} = S_{Δ BDK} = S,
или
S(1--) = S,
откуда находим, что k = или k=3 .

Ответ

3:1 , 1:3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4533