Задача 111410

Тема:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Из вершины A треугольника ABC проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов, пересекающие прямую BC в точках D и E соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ADE , если BC = a и = .

Решение

По свойству биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника = = = . Пусть точка E лежит на продолжении стороны BC за точку B . Положим BD = 2t , DC = 3t , BE = y . Тогда 5t = BC = a , t = ,

= = ,
откуда находим, что y=10t . Следовательно,
DE = BE+BD = y+2t = 10t+2t = 12t,
а т.к. угол между биссектрисами смежных углов равен 90^o , то DE – гипотенуза прямоугольного треугольника ADE , значит, радиус окружности, описанной около этого треугольника равен
DE = 6t = 6· = a.
Аналогично для случая, когда точка E лежит на продолжении стороны BC за точку C .

Ответ

a .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4536