Задача 111413

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC ( AB=BC ) высота AF пересекает высоту BD в точке O , причём = h . В каком отношении биссектриса AE делит высоту BD ?

Решение

Положим OD=x , BO = hx . Обозначим ABD = CBD = CAF = α . Из прямоугольных треугольников AOD и ABD находим, что

tg α = = , tg α = = .
Из равенства = следует, что AD = x . По теореме Пифагора
AB= = = x.
Пусть Q – точка пересечения биссектрисы AE с высотой BD . Тогда AQ – биссектриса треугольника ABD . По свойству биссектрисы треугольника
= = = .

Ответ

, считая от вершины B .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4539