Задача 111423

Темы:    [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна a , угол между апофемой и боковой гранью равен . Найдите высоту пирамиды.

Решение

Пусть M и N – середины сторон AB и AC основания ABC правильной треугольной пирамиды DABC , DH – высота пирамиды. Обозначим DMH = DNH = β . Из точки M опустим перпендикуляр MM1 на плоскость грани ACD . По условию задачи MDM1 = 45^o . Из прямоугольных треугольников DMH и DMM1 находим, что

DM = = = ,

MM1 = DM cos MDM1 = DM cos 45^o = · = .
Пусть BK – перпендикуляр, опущенный из точки B на апофему DN пирамиды. Поскольку прямая BK перпендикулярна двум пересекающися прямым DN и AC плоскости ADC , прямая BK перпендикулярна этой плоскости. Из прямоугольного треугольника BKN находим, что
BK = BN sin β = sin β.
Поскольку MM1 и BK перпендикулярны одной и той же плоскости, MM1 || BK , а т.к. M – середина наклонной AB к плоскости ADC , то
BK = 2MM1 = 2· = .
Тогда получим уравнение sin β= . После возведения обеих его частей в квадрат и очевидных упрощений получим уравнение
9 sin2 β cos2 β = 2 9(1- cos2 β) cos2 β = 2 9 cos4 β -9 cos2 β + 2 = 0,
откуда cos2 β = или cos2 β = . Тогда
tg β = = =
или
tg β = = = .
Следовательно,
DH = MH tg β = · =
или
DH = MH tg β = · = .

Ответ

, .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	9010