Задача 111425

Темы:    [ Площадь сферы и ее частей ] [ Поверхность круглых тел ] [ Конус ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

На высоте конуса как на диаметре построена сфера. Площадь поверхности части сферы, лежащей внутри конуса, равна площади части поверхности конуса, лежащей внутри сферы. Найдите угол в осевом сечении конуса.

Решение

Пусть угол при вершине A осевого сечения ABC конуса равен 2α , O – центр сферы радиуса R , построенной на высоте AH конуса как на диаметре, ED – лежащий в плоскости ABC диаметр окружности, по которой персекаются сфера и боковая поверхность конуса, M – центр этой окружности. Тогда ADH = 90^o , HDM = DAH = α . Из прямоугольных треугольников ADH и DMH находим, что

DH = AH sin α = 2R sin α, AD = AH cos α = 2R cos α,

DM = AD sin α = 2R cos α sin α, MH = DH sin α = 2R sin2 α.
Пусть S1 – площадь поверхности части сферы лежащей внутри конуса, S2 – площади части поверхности конуса, лежащей внутри сферы. Тогда
S1=2π R· MH = 2π R· 2R sin2 α = 4π R2 sin2 α,

S2 = π MD· AD = π · 2R cos α sin α · 2R cos α= 4π R2 sin α cos2 α.
По условию задачи S1=S2 , т.е. 4π R2 sin2 α=4π R2 sin α cos2 α , или
sin α = cos2 α sin α = 1- sin2 α.
Из этого уравнения находим, что sin α = . Тогда
cos 2α = 1-2 sin2 α = -2.

Ответ

arccos (-2) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	9012