Задача 111434

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Две окружности радиусов R и r ( R>r ) имеют внутреннее касание в точке A . Через точку B , лежащую на большей окружности, проведена прямая, касающаяся меньшей окружности в точке C . Найдите AB , если BC=a .

Решение

Пусть O и Q – центры большей и меньшей окружностей соответственно. Поскольку линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, точки O , Q и A лежат на одной прямой. Из прямоугольного треугольника BCQ находим, что

BQ2 = CQ2+BC2 = r2+a2.
Применяя теорему косинусов к треугольнику OBQ и к равнобедренному треугольнику AOB получим, что
cos BOQ = = = ,

AB2 = OA2+OB2 - 2OA· OB cos BOQ = 2R2-2R2· = .
Следовательно, AB = a .

Ответ

a .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4540