Задача 111436

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Две окружности радиусов R и r ( R>r ) имеют внешнее касание в точке A . Через точку B , взятую на большей окружности, проведена прямая, касающаяся меньшей окружности в точке C . Найдите BC , если AB=a .

Решение

Пусть O и Q – центры большей и меньшей окружностей соответственно. Поскольку линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, точки O , Q и A лежат на одной прямой. Применяя теорему косинусов к равнобедренному треугольнику AOB и к треугольнику OBQ получим, что

cos AOB = = = ,

BQ2 = OB2+OQ2 - 2OB· OQ cos BOQ =

=R2+(R+r)2 - 2R(R+r)· = +r2.
По теореме Пифагора
BC2 = BQ2-QC2 = +r2 - r2= .
Следовательно, BC = a=a .

Ответ

a .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4542