Задача 111444

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Площадь треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На сторонах прямоугольного треугольника с катетами a и b построены квадраты, лежащие вне треугольника. Найдите площадь треугольника с вершинами в центрах квадратов.

Решение

Пусть O1 , O2 и O3 – центры квадратов, построенных на катетах соответственно BC=a , AC=b и гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC . Поскольку CO1 и CO2 – биссектрисы углов квадратов, точки O1 , C и O2 лежат на одной прямой. Из вершины K квадрата ABKL , построенного на гипотенузе AB , опустим перпендикуляр KM на продолжение катета BC , а из вершины L – перпендикуляр LQ на продолжение катета AC . Пусть этот перпендикуляр пересекает прямую KM в точке P . Тогда CMPQ – квадрат со стороной a+b , причём его центр совпадает с центром O3 квадрата ABKL (если вершины одного параллелограмма расположены по одной на сторонах другого параллелограмма, то центры параллелограммов совпадают). Отрезок CO3 – половина диагонали квадрата CMPQ , поэтому CO3 = и

O1CO3 = O1CB+ O3CB = 45^o+45^o= 90^o.
Таким образом, O3C – высота треугольника O1O2O3 . Следовательно,
S_{Δ O}1O2O3 = O1O2· CO3 = (+)· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4550