Задача 111446

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике с углом 120^o радиус вписанной окружности равен R . Внутри треугольника лежат два равных касающихся друг друга круга, каждый из которых касается одной боковой стороны треугольника и вписанной в треугольник окружности. Найдите радиусы этих кругов (найдите все решения).

Решение

Пусть окружность радиуса R с центром O касается боковых сторон AB и AC равнобедренного треугольника ABC в точках P и Q соответственно, а основания BC – в точке M . Если равные касающиеся круги радиуса x с центрами O1 и O2 касаются этой окружности изнутри (рис.1) и при этом первый касается боковой стороны AB , а второй – боковой стороны AC , то их точки касания с этими сторонами совпадают с P и Q соответственно. Точка M – середина основания BC равнобедренного треугольника, поэтому AO1 и AO2 – биссектрисы углов BAM и CAM , значит,

O1AO2 = 60^o, O1OO2 = QOP = 180^o - QAP = 180^o-120^o= 60^o,

O1O2 = 2x, OO1 = OO2 =R-x.
Треугольник OO1O2 – равносторонний, поэтому 2x = R-x , откуда x=R . Пусть теперь равные касающиеся круги радиуса x с центрами O1 и O2 касаются вписанной окружности треугольника ABC внешним образом и при этом первый из них касается боковой стороны AB точке E , а второй – боковой стороны AC в точке F (рис.2). В треугольнике AOO1 известно, что
AO = =, AO1 = = = 2x, OO1 = R+x, O1AO = 30^o.
По теореме косинусов
OO12 = AO12+AO2-2AO1· AO cos 30^o,
или
(R+x)2 = 4x2+ - 2· 2x· · 9x2-18Rx +R2=0 x = (1 )R.
Условию задачи удовлетворяет только меньший корень уравнения, т.е. x=(1 -)R .

Ответ

x1=R , x2 = R .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4552