ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 111446
Условие
В равнобедренном треугольнике с углом 120o радиус
вписанной окружности равен R . Внутри треугольника лежат два равных
касающихся друг друга круга, каждый из которых касается одной боковой
стороны треугольника и вписанной в треугольник окружности. Найдите
радиусы этих кругов (найдите все решения).
Решение
Пусть окружность радиуса R с центром O касается боковых сторон AB и
AC равнобедренного треугольника ABC в точках P и Q соответственно, а
основания BC – в точке M .
Если равные касающиеся круги радиуса x с центрами O1 и O2
касаются этой окружности изнутри (рис.1) и при этом первый касается боковой стороны AB , а
второй – боковой стороны AC , то их точки
касания с этими сторонами совпадают с P и Q соответственно.
Точка M – середина основания BC равнобедренного треугольника, поэтому
AO1 и AO2 – биссектрисы углов BAM и CAM , значит,
Треугольник OO1O2 – равносторонний, поэтому 2x = R-x , откуда x= По теореме косинусов или Условию задачи удовлетворяет только меньший корень уравнения, т.е. x=(1 - Ответ
x1= Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке