Задача 111449

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB=c , A = α . Найдите радиус окружности, касающейся катета AC , гипотенузы AB и окружности, описанной около треугольника ABC .

Решение

Пусть окружность радиуса x с центром в точке O касается гипотенузы AB в точке N , а описанной окружности треугольника ABC – в точке K . Середина M гипотенузы – центр описанной окружности треугольника ABC , радиус этой окружности равен . Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому OM = MK-OK = -x . Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому OAN = . Из прямоугольного треугольника OAN находим, что

AO = = .
По теореме косинусов
OM2 = AO2+AM2 - 2AO· AM cos OAM,
или
(-x)2 = + - 2· · · cos ,
откуда находим, что x = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4555