Задача 111452

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AM и CN. Известно, что  AC = 6,  AN = 2,  CM = 3.  Найдите MN.

Решение

  Обозначим  BN = x,  BM = y.  По свойству биссектрисы треугольника  BN : AN = CB : CA  и  BM : CM = AB : AC,  или  ^x/₂ = ^3+y/₆  и  ^y/₃ = ^x+2/₆,  откуда
x = ⁸/₅  и  y = ⁹/₅.  Значит,  AB = 2 + ⁸/₅ = ¹⁸/₅,  BC = 3 + ⁹/₅ = ²⁴/₅,  AB : BC : AC = 3 : 4 : 5,  следовательно,  ∠ABC = 90°.  По теореме Пифагора
MN² = BM² + BN² = ¹⁴⁵/₂₅.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4558