Условие
В равнобедренной трапеции
ABCD основания
AD и
BC связаны
равенством
AD = (1
+
)
BC . Построена окружность с
центром в точке
C радиуса
BC , высекающая на
основании
AD хорду
EF длины
BC . В каком
отношении окружность делит сторону
CD ?
Решение
Первое решение
Положим
BC=a . Тогда
AD = (1
+)
a , радиус окружности равен
a . Пусть окружность с центром
C пересекает боковую сторону
CD трапеции в точке
K , а
M – середина
хорды
EF (
F между
M и
D ). Поскольку
CM – высота равнобедренной
трапеции
ABCD ,
DM = 
(AD-BC) = ((1+)a-a) = 
,
EM = EF = 
a,
CM2 = CE2-EM2 = 
a2-
a2 = 
a2,
CD = 
= 
=
2a.
Следовательно,
= 
= 
=2.
Второе решение
Положим
BC=a . Тогда
AD = (1
+)
a , радиус окружности равен
a . Пусть окружность с центром
C пересекает боковую сторону
CD трапеции в точке
K ,
KN – диаметр окружности, а
M – середина
хорды
EF (
F между
M и
D ). Поскольку
CM – высота равнобедренной
трапеции
ABCD ,
DM = (AD-BC) = ((1+)a-a) = .
Обозначим
DK=x . Из точки
D проведены к окружности секущие
DKN и
DFE ,
поэтому
DK· DN = DF· DE = (DM-MF)(DM+ME) = (DM-MF)(DM+MF) = DM2-MF2,
или
x(x+
a) = 
- 
,
x2+ax-
a2 = 0,
откуда находим, что
x=a . Тогда
= 
= 2.
Ответ
2
:1
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
4561 |
