Задача 111456

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Прямоугольный треугольник с острым углом α расположен внутри окружности радиуса R так, что гипотенуза треугольника является хордой окружности, а вершина прямого угла треугольника лежит на диаметре, параллельном гипотенузе. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Пусть вершина прямого угла C треугольника ABC лежит на диаметре окружности с центром O, параллельном гипотенузе AB,  ∠ A = α.  Опустим перпендикуляр OM из центра окружности на хорду AB. Тогда M – середина гипотенузы AB. Обозначим  CM = AM = BM = x.  Заметим, что
∠MCO = ∠BMC = 2α. Значит,  OM = MC sin 2α = x sin 2α,  OB² = OM² + MA²,  или  R² = x² sin²2α + x².  Следовательно,
S_ABC = ½ AB·OM = x² sin 2α = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4562