|
|
 |
Условие
В углы B и C треугольника ABC вписаны две окружности
радиусов 2 и 3, касающиеся биссектрисы угла A треугольника.
Найдите эту биссектрису, если расстояние между точками, в которых окружности касаются BC, равно 7.
Решение
Пусть окружность радиуса 2 с центром O1 касается биссектрисы AD и стороны BC треугольника ABC в точках M и K соответственно, а окружность радиуса 3 с центром O2 касается AD и BC в точках соответственно N и L. Обозначим ∠O1DK = α. Поскольку DO1 и DO2 – биссектрисы смежных углов, ∠O1DO2 = 90°, ∠O2DL = 90° – ∠O1DK = 90° – α, ∠DO2L = α.
AO1 и AO2 – биссектрисы равных углов CAD и BAD, значит, ∠O1AM = ∠O2AN. Следовательно, прямоугольный треугольник O1AM подобен прямоугольному треугольнику O2AN, причём коэффициент подобия
равен O1M/O2N = 2/3. В частности, AM < AN, поэтому DL = DN < DM = DK.
Треугольники O1DK и LDO2 также подобны, откуда KD·DL = O1K·O2L = 6. Поскольку KD + DL = KL = 7, то по теореме Виета DM = KD = 6,
DN = DL = 1, MN = DM – DN = 5.
Так как AN = 3/2 AM, то AM = 2MN = 10, а AD = AM + MD = 16.
Ответ
16.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4564 |
