Задача 111461

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC проведены медиана AD , биссектриса AE и высота AF . Площадь треугольника AED равна площади треугольника ABC , а площадь треугольника AFD равна площади треугольника ABC . Найдите углы треугольника ABC .

Решение

Обозначим BC=a , AC=b , AB=c (c<b) . По свойству биссектрисы треугольника = . Тогда

BE = , DE = BD-BE = -= .
Из условия задачи следует, что = , или
= = ,
откуда b = c . Далее имеем:
FD = BC= a, BF=BD-FD = -a = a,

CF=CD+FD = +a = a,

AB2-BF2=AC2-CF2, c2-(a)2= b2-(a)2,

b2-c2 = (a)2-(a)2, c2-c2 = (a-a)(a+a),

c2 = a2, a=c.
Таким образом, стороны треугольника ABC пропорциональны числам 3, 4, 5. Следовательно, треугольник ABC – прямоугольный:
A = 90^o, B = arccos , C = arccos .

Ответ

A = 90^o, B = arccos , C = arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4567