Задача 111467

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится на расстояниях и от концов гипотенузы. Найдите катеты.

Решение

Пусть r – радиус окружности с центром O , вписанной в прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB , OA= , OB = . Поскольку AO и BO – биссектрисы острых углов треугольника,

AOB = 90^o+ ACB = 90^o+· 90^o = 135^o.
По теореме косинусов
AB = = =5.
Высота треугольника AOB , проведённая из вершины O равна r . Выражая двумя способами площадь этого тругольника, получим, что
· 5r = · · · ,
откуда r =1 . Пусть M – точка касания вписанной окружности треугольника ABC с катетом AC . Тогда
MC = OM = r = 1, AM = = = 2.
Следовательно,
AC = AM+MC = 2+1=3, BC = = = 4.

Ответ

3 Х 4.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4573