Задача 111471

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Касательные прямые и касающиеся окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В полукруг радиуса R вписаны два круга, касающиеся друг друга, полукруга и его диаметра. Радиус одного из них равен r . Найдите радиус другого.

Решение

Пусть O – центр полукруга, O1 – центр круга радиуса r , O2 – центр круга неизвестного радиуса x , M и N – точки касания соответственно первого и второго круга с диаметром полукруга. Тогда

O1M = r, O2N=x, O1O2=r+x, MN=2, OO1=R-r, OO2=R-x.
Из прямоугольных треугольников OMO1 и ONO2 находим, что
OM = = = ,

ON = = = ,
Пусть точка O лежит между точками M и N . Тогда OM+ON=MN , поэтому
+=2.
Далее имеем:
+=2 2-=

(2-)2=R2-2rR 4xr+R2-2xR-4=R2-2rR

2=rR-(R-2r)x 4xr(R2-2xR)=(rR-(R-2r)x)2

(R+2r)2x2-2rR(3R-2r)x+r2R2=0 x= .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4577