Задача 111473

Темы:    [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC известно, что AB=c , AC=b , а биссектриса, выходящая из угла A равна l . Найдите третью сторону треугольника.

Решение

Пусть AD=l – биссектриса треугольника ABC , BD=c' , CD=b' . Докажем сначала, что квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой, т.е. l2 = bc-b'c' . Пусть M – точка пересечения продолжения биссектрисы AD треугольника ABC с описанной около этого треугольника окружностью. Тогда треугольник ABD подобен треугольнику AMC по двум углам. Поэтому

= , или AD(AD+DM) = AC· AB,

l(l+DM) = bc, l2 = bc-l· DM = bc-b'c'.
( l· DM = b'c' по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд), что и требовалось доказать. По свойству биссектрисы треугольника = = . Положим c'=cx , b'=bx . Тогда l2=bc-b'c' = bc-bcx2 , откуда x = . Следовательно,
BC = b'+c' = (b+c)x = (b+c) .

Ответ

(b+c) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4579