Задача 111479

Темы:    [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC известно, что AB=a , BC=b . Продолжение медианы BD пересекается с описанной около ABC окружностью в точке E , причём = . Найдите AC .

Решение

Положим BD=mx , DE=nx . По формуле для медианы треугольника

BD2 = (2AB2+2BC2-AC2), 4m2x2 = 2a2+2b2-AC2,
откуда AC2 = 2a2+2b2 - 4m2x2 . По теореме об отрезках пересекающихся хорд
BD· DE = AD· DC = AC· AC =AC2,
или
mnx2 = (2a2+2b2 - 4m2x2),
откуда находим, что x2 = . Следовательно,
AC = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4625