Задача 111481

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом. Найдите площадь трапеции, образованной общими внешними касательными к этим окружностям и хордами, соединяющими точки касания.

Решение

Пусть O1 и O2 – центры окружностей радиусов r и R соответственно (r<R) , AB и CD – общие внешние касательные к этим окружностям (точки A и D расположены на меньшей окружности, точки B и C – на большей), K – точка касания окружностей, F – проекция точки O1 на O2B , H – проекция точки A на BC . Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому O1O2 = O1K+KO2 = r+R . Четырёхугольник ABFO1 – прямоугольник, поэтому

AB = O1F = = = 2.
Прямугольные треугольники O1FO2 и AHB подобны, т.к. FO1O2 = HAB , значит, = , откуда находим, что
AH = O1F· = 2· = .
Пусть общая касательная, проведённая через точку K пересекает отрезки AB и CD в точках M и N соотвественно. Тогда
AM=MK = MB, ND=NK = NC,
значит, M и N – середины боковых сторон AB и CD равнобедренной трапеции ABCD с высотой AH , а
MN=MK+KN=AB+CD=(2+2) = 2
– средняя линия трапеции. Следовательно,
S_ABCD = MN· AH = 2· =.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4627