Задача 111482

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса CD прямого угла C . Известно, что AD=m , BD=n . Найдите высоту, опущенную из вершины C .

Решение

Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, поэтому = = . Положим AC=mx , BC=nx . По теореме Пифагора

AB2 = AC2+BC2, (m+n)2 = m2x2+n2x2,
откуда находим, что x2= . Пусть CH – искомая высота. Выражая площадь треугольника ABC двумя способами, получим, что
AB· CH = BC· AC,
следовательно,
CH = = = x2· = · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4628