Задача 111500

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Угол при основании равнобедренного треугольника равен 2 arcctg 2 . Внутри треугольника расположены три окружности так, что каждая из них касается двух других окружностей и двух сторон треугольника. Найдите отношение радиусов этих окружностей.

Решение

Пусть окружность радиуса x с центром O1 касается основания BC равнобедренного треугольника ABC в точке D , а боковой стороны AB – в точке E ; окружность радиуса y с центром O2 касается основания BC в точке F , а боковой стороны AC – в точке G ; окружность радиуса z с центром O3 касается боковых сторон AB и AC в точках K и L соответственно. Из прямоугольных треугольников BO1D , CO2F и AO3K находим, что

BD = O1D ctg ABC = x ctg ( arcctg 2) = 2x,

CF = O2F ctg ACB = y ctg ( arcctg 2) = 2y.

AK = O3K tg AO3K = O3K tg ABC = O3K tg (2 arcctg 2) =

=O3K tg (2 arctg )= z· =z,

AO3 = = = z.
Тогда
AB = AK+KE+BE = AK+KE+BD = z + 2 + 2x,

AC = AL+LG+CG = AK+LG+CF = z + 2 + 2y,
а т.к. AB=AC , то
z + 2 + 2x = z + 2 + 2y, 2 + 2x = 2 + 2y,

+ x = + y, - + x-y=0,

( -) + (-)(+)=0, ( -)(++) = 0,
откуда следует, что x=y , значит, окружности с центрами O1 и O2 равны. Тогда высота AH равнобедренного треугольника ABC проходит через точку P касания этих окружностей, а O3P – высота равнобедренного треугольника O1O2O3 с основанием O1O2=2x и боковыми сторонами O1O3 = O2O3 = x+z . Из прямоугольного треугольника AHB находим, что
AH = BH tg ABC = (BD+DH) tg (2 arctg )= (2x+x)· = 4x.
В прямоугольном треугольнике O3O1P известно, что
O3P = AH-AO3-PH = 4x-z-x = 3x-z, O1P=x, O1O3=x+z,
причем x> z , т.к. 3x-z>0 . По теореме Пифагора
O3P2+O1P2 = O1O32, (3x-z)2+x2 = (x+z)2, 9x2-12xz+z2 = 0,
откуда = , а т.к. > , то = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4585