Задача 111506

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В острые углы прямоугольного треугольника вписаны два равные касающиеся друг друга круга. Сумма площадей этих кругов равна площади круга, вписанного в треугольник. Найдите углы треугольника.

Решение

Пусть круги радиуса r с центрами O1 и O2 вписаны в острые углы соответственно A и B прямоугольного треугольника ABC (рис.1), причём первый из кругов касается гипотенузы AB в точке N , катета AC – в точке M , а второй касается гипотенузы в точке K , катета BC – в точке L . Обозначим BAC = α . Из прямоугольных треугольников AO1N и BO2K находим, что

AN = =,

KB = == =.
Тогда
AB = AN+NK+KB = +2r+ =r(+2+)=

=.
Пусть окружность радиуса R с центром O , вписанная в треугольник ABC касается катета AC в точке P (рис.2). Тогда
CP=R, AP = = , AC= AP+PC = +R = ,
а т.к.
AB= = = = =

=· = ,
то
= .
По условию задачи 2π r2=π R2 , поэтому R=r , значит,
= , 1+2 tg - tg2 =(1+ tg2 ),

(+1) tg2 -2 tg +-1=0, tg =-1,

tg α = = = =1.
Следовательно, α = 45^o .

Ответ

45^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4591