ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111511
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На отрезке длины 2R как на диаметре построена полуокружность. В получившуюся фигуру вписана окружность радиуса R/2. Найдите радиус окружности, касающейся построенных окружности, полуокружности и данного отрезка.


Решение

Пусть O – центр полуокружности, построенной как на диаметре на отрезке AB , O1 – центр окружности радиуса , вписанной в полуокружность, O2 – центр окружности искомого радиуса x , вписанной в получившуюся фигуру, M – точка касания этой окружности с отрезком AB , K – точка её касания с полуокружностью. Окружность радиуса касается полуокружности и её диаметра, поэтому точка касания с диаметром совпадает с центром O полуокружности, значит, OM – отрезок общей касательной касающихся окружностей радиусов и x . Следовательно,

OM = 2=.

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому
OO2=OK-O2K = R-x.

В прямоугольном треугольнике OO2M известно, что
OO2 = R-x, O2M = x, OM = .

По теореме Пифагора
OO22 = OM2+O2M2, (R-x)2 = 2Rx+x2,

откуда x= .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4596

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .