Задача 111516

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной окружностей.

Решение

Пусть R и r – радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C . Oбозначим BC = a , AC=b и AB=c , а точки касания с этими сторонами – A1 , B1 и C1 соответственно. Поскольку треугольник прямоугольный, его гипотенуза – диаметр описанной окружности, поэтому c=2R . Если O – центр вписаннной окружности, то OA1CB1 – квадрат. Поэтому

CA1 = r, BC1 = BA1 = a - r, AC1 = AB1 = b - r,

2R = c = AB = AC1 + C1B = a + b - 2r.
Следовательно,
2R+2r = a + b,
что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4601