ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111519
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Площадь круга, сектора и сегмента ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности радиусов r и 3r внешне касаются. Найдите площадь фигуры, заключённой между окружностями и общей к ним внешней касательной.

Решение

Пусть O1 и O2 – центры окружностей радиусов r и 3r соответственно, M – точка касания окружностей, AB – общая внешняя касательная этих окружностей (точка A лежит на первой окружности, B – на второй). Опустим перпендикуляр O1F из центра первой окружности на радиус O2B второй окружности. В прямоугольном треугольнике O1O2F известно, что

O1O2 = O1M+O2M = r+3r = 4r, O2F = O2B-BF = O2F-O1A = 3r-r = 2r,

поэтому
FO2O1 = 60o, AO1O2 = 120o, AB = O1F = 2r.

Пусть S – площадь искомой фигуры (криволинейного треугольника AMB ), S1 и S2 – площади секторов AO1M и BO2M , S3 – площадь прямоугольной трапеции ABO2O1 . Тогда
S1 = π r2, S2 = π (3r)2 = π r2, S3 = (r+3r)· 2r = 4r2.

Следовательно,
S = S3-S2-S1 = 4r2-π r2- π r2= (4-π)r2.


Ответ

(4-π)r2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4604

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .