Задача 111519

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Две окружности радиусов r и 3r внешне касаются. Найдите площадь фигуры, заключённой между окружностями и общей к ним внешней касательной.

Решение

Пусть O1 и O2 – центры окружностей радиусов r и 3r соответственно, M – точка касания окружностей, AB – общая внешняя касательная этих окружностей (точка A лежит на первой окружности, B – на второй). Опустим перпендикуляр O1F из центра первой окружности на радиус O2B второй окружности. В прямоугольном треугольнике O1O2F известно, что

O1O2 = O1M+O2M = r+3r = 4r, O2F = O2B-BF = O2F-O1A = 3r-r = 2r,
поэтому
FO2O1 = 60^o, AO1O2 = 120^o, AB = O1F = 2r.
Пусть S – площадь искомой фигуры (криволинейного треугольника AMB ), S1 и S2 – площади секторов AO1M и BO2M , S3 – площадь прямоугольной трапеции ABO2O1 . Тогда
S1 = π r2, S2 = π (3r)2 = π r2, S3 = (r+3r)· 2r = 4r2.
Следовательно,
S = S3-S2-S1 = 4r2-π r2- π r2= (4-π)r2.

Ответ

(4-π)r2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4604