Задача 111521

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Равнобедренный треугольник рассечён биссектрисой угла при основании на два треугольника: площадь первого (прилежащего к основанию) 6 , площадь второго – 5 . Найдите стороны равнобедренного треугольника.

Решение

Пусть BD – биссектриса равнобедренного треугольника ABC с основанием BC , S_{Δ BCD}=6 , S_{Δ BAD}=5 . Тогда

S_{Δ ABC} = S_{Δ BCD}+S_{Δ BAD} = 6+ 5 = + = =12.
По свойству биссектрисы треугольника
= = = = .
Положим AB=AC=5x , BC=6x . Пусть E – середина основания BC . Тогда AE – высота треугольника ABC . По теореме Пифагора
AE = = = 4x,
поэтому
S_{Δ ABC}= BC· AE = · 6x· 4x = 12x = 12,
откуда x=1 . Следовательно, AB=AC=5x=5 , BC=6x=6 .

Ответ

6, 5, 5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4606