Задача 111523

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Формула Герона ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Даны две окружности радиусов R и r ( R>r ), имеющие внутреннее касание. Найдите радиус третьей окружности, касающейся первых двух окружностей и их общего диаметра.

Решение

Пусть O – центр окружности радиуса R , O1 – центр окружности радиуса r , A – точка их касания, AB – их общий диаметр, O2 – центр окружности искомого радиуса x , C – точка касания окружностей с центрами O и O2 , D – точка касания окружностей с центрами O1 и O2 , M точка касания с диаметром AB окружности с центром O2 . Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому

OO1 = OA-O1A = R-r, OO2= OC-O2C= R-x, O1O2 = O1D+O2D = r+x.
Выразим площадь треугольника OO1O2 по формуле Герона. Пусть p – полупериметр треугольника, тогда
p = = R, S_{Δ OO}1O2 = .
С другой стороны,
S_{Δ OO}1O2=OO1· O2M = (R-r)x.
Из уравнения =(R-r)x находим, что x= .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4608