Задача 111526

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Один из катетов прямоугольного треугольника равен b , радиус описанной около этого треугольника окружности равен R . Найдите биссектрису угла, заключённого между данным катетом и гипотенузой.

Решение

Пусть AM – биссектриса прямоугольного треугольника ABC , в котором ACB = 90^o , катет AC=b , а радиус описанной окружности равен R . Тогда гипотенуза AB = 2R . По теореме Пифагора

BC = = .
По свойству биссектрисы треугольника
= = ,
поэтому
CM = BC· = · = .
Из прямоугольного треугольника ACM находим, что
AM2 = AC2+CM2 = b2 + = .
Следовательно, AM = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4611