ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111528
Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Отношения площадей (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Основание треугольника равно a, а высота, опущенная на основание, равна h. В треугольник вписан квадрат, одна из сторон которого лежит на основании треугольника, а две вершины на боковых сторонах. Найдите отношение площади квадрата к площади треугольника.


Решение

Пусть вершины K и L квадрата KLMN со стороной x лежат на стороне  BC = a  треугольника ABC, вершины M и N – на сторонах AC и AB соответственно, Q – точка пересечения высоты  AP = h  треугольника со стороной MN квадрата. Тогда  AQ = AP – PQ = AP – ML = h – x.  Треугольник AMN подобен треугольнику ABC с коэффициентом  AQ/AP = h–x/h,  поэтому  MN = BC·AQ/AP,  или  x = a·h–x/h,  откуда x = ah/a+h.  Следовательно,  SKLMN/SABC = 2x²/ah = 2ah/(a+h.


Ответ

2ah/(a+h.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4613

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .