Задача 111528

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношения площадей (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Основание треугольника равно a, а высота, опущенная на основание, равна h. В треугольник вписан квадрат, одна из сторон которого лежит на основании треугольника, а две вершины на боковых сторонах. Найдите отношение площади квадрата к площади треугольника.

Решение

Пусть вершины K и L квадрата KLMN со стороной x лежат на стороне  BC = a  треугольника ABC, вершины M и N – на сторонах AC и AB соответственно, Q – точка пересечения высоты  AP = h  треугольника со стороной MN квадрата. Тогда  AQ = AP – PQ = AP – ML = h – x.  Треугольник AMN подобен треугольнику ABC с коэффициентом  ^AQ/_AP = ^h–x/_h,  поэтому  MN = BC·^AQ/_AP,  или  x = a·^h–x/_h,  откуда x = ^ah/_a+h.  Следовательно,  ^S_KLMN/_SABC = ^2x²/_ah = ^2ah/_(a+h)².

Ответ

^2ah/_(a+h)².

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4613