Задача 111533

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Найдите радиус окружности, внутри которой расположены две окружности радиуса r и одна окружность радиуса R так, что каждая окружность касается двух других.

Решение

Пусть x – искомый радиус окружности с центром O , O1 – центр окружности радиуса R , O2 и O3 – центры окружностей радиуса r , а M – точка их касания. Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому

OO1 = x-R, O2O3=2r, O1O2=O1O3 = R+r.
Медиана O1M равнобедренного треугольника O1O2O3 является его высотой. Из прямоугольных треугольников O1M_O2 и OMO2 находим, что
O1M = = = ,

OM = = = ,
а т.к. O1M = OO1+OM , то получаем уравнение
=x-R+ +R-x=

(+R-x)2=x2-2rx x=.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4618