Задача 111534

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Формула Герона ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На отрезке и двух его неравных частях длины 2a и 2b построены полуокружности, лежащие по одну сторону от отрезка. Найдите радиус окружности,касающейся трёх построенных полуокружностей.

Решение

Пусть AB=2a+2b – диаметр большей полуокружности с центром O , AC=2a – диаметр полуокружности с центром O1 , BC=2b – диаметр полуокружности с центром O2 , x – искомый радиус окружности с центром O3 , касающейся трёх данных полуокружностей. Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому

OO3 = a+b-x, O1O3=a+x, O2O3=b+x,

OO1 = OA-O1A = a+b-a = b, OO2 = OB - O2B=a+b-b=a.
Пусть p1 и p2 – полупериметры треугольников OO1O3 и OO2O3 . Тогда
p1 = = a+b, p2 = = a+b.
По формуле Герона
S_{Δ OO}1O3 = , S_{Δ OO}2O3 = ,
поэтому
= = .
С другой стороны, у треугольников OO1O3 и OO2O3 общая высота, проведённая из вершины O3 , поэтому
= = .
Из уравнения
=
находим, что
x = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4619