Условие
Хорды
AC и
BD окружности пересекаются в точке
P .
Перпендикуляры к
AC и
BD , восставленные в точках
C и
D соответственно, пересекаются в точке
Q .
Докажите, что прямые
AB и
PQ перпендикулярны.
Решение
Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть прямая
DQ
вторично пересекает данную окружность в точке
R . Вписанные в
эту окружность углы
CAR и
CDR опираются на одну и ту же дугу,
поэтому
CAR = CDR .
Из точек
D и
C отрезок
PQ виден под прямым углом,
значит, эти точки лежат на окружности с диаметром
PQ .
Вписанные в эту окружность углы
CDQ и
CPQ опираются
на одну и ту же дугу, поэтому
CPQ = CDQ = CDR = CAR,
значит,
PQ || AR , а т.к.
BDR = 90
o ,
то
BR – диаметр данной окружности. Следовательно,
BAR = 90
o , т.е.
AR 
AB , но тогда и
PQ AB , что и требовалось доказать.
Аналогично для остальных случаев.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
4674 |
