Задача 111569

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P . Перпендикуляры к AC и BD , восставленные в точках C и D соответственно, пересекаются в точке Q . Докажите, что прямые AB и PQ перпендикулярны.

Решение

Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть прямая DQ вторично пересекает данную окружность в точке R . Вписанные в эту окружность углы CAR и CDR опираются на одну и ту же дугу, поэтому CAR = CDR . Из точек D и C отрезок PQ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром PQ . Вписанные в эту окружность углы CDQ и CPQ опираются на одну и ту же дугу, поэтому

CPQ = CDQ = CDR = CAR,
значит, PQ || AR , а т.к. BDR = 90^o , то BR – диаметр данной окружности. Следовательно, BAR = 90^o , т.е. AR AB , но тогда и PQ AB , что и требовалось доказать. Аналогично для остальных случаев.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4674