Задача 111571

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Высоты остроугольного треугольника ABC , проведённые из точек B и C , продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках B1 и C1 . Оказалось, что отрезок B1C1 проходит через центр описанной окружности. Найдите угол BAC .

Решение

Обозначим BAC = α . Вписанные в окружность углы BAC и BB1C опираются на одну и ту же дугу, поэтому BB1C = BAC =α . Точка C лежит на окружности с диаметром B1C1 , поэтому B1CC1 = 90^o . Прямые B1C и AB параллельны, т.к. они перпендикулярны одной и той же прямой CC1 , значит, ACB1 = BAC = α . Пусть отрезки BB1 и AC пересекаются в точке D . В прямоугольном треугольнике CB1D каждый из острых углов равен α , следовательно, α = 45^o .

Ответ

45^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4676