Задача 111576

Темы:    [ Неравенства для углов треугольника ] [ Неравенства с медианами ] [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если α , β и γ – углы остроугольного треугольника, то sin α+ sin β+ sin γ>2 .

Решение

Пусть α , β и γ – углы треугольника ABC , a , b и c – длины противолежащих им сторон BC , AC и AB соответственно, m_a , m_b и m_c – длины медиан, проведённых из вершин этих углов, R – радиус описанной окружности треугольника. Докажем сначала, что a+b+c>m_a+m_b+m_c . Для этого на продолжении медианы AA1=m_a за точку A1 отложим отрезок A1D , равный m_a (рис.1). Применяя нервенство треугольника к треугольнику ADC , получим, что b+c>2m_a . Аналогично, a+b>2m_c , a+c>2m_b . Сложив почленно эти три неравенства, получим, что 2a+2b+2c>2m_a+2m_b+2m_c , откуда a+b+с>m_a+m_b+m_c , что и требовалось доказать. (Отметим, что доказанное неравенство верно для любого треугольника). Докажем теперь, что для остроугольного треугольника верно неравенство a+b+c>4R . Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC , а O – центр его описанной окружности (рис.2). Поскольку треугольник остроугольный, точка O лежит внутри него, значит, она принадлежит одному из трёх треугольников AMC , BMC или AMB . Без ограничения общности можно считать, что это треугольник AMB . Продолжим отрезок AO до пересечения с MB в точке K . Тогда AM+MK AO+OK и (BM-MK)+OK OB . Сложив почленно эти неравенства, получим, что AM+BM AO+OB=2R , или m_a+m_b 2R , откуда m_a+m_b 3R . Продолжим отрезок CO до пересечения со стороной AB в точке P (рис.3). Центр O описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB , поэтому OC1P = 90^o , значит, угол C1OP – острый, а угол COC1 – тупой. Следовательно, m_c=CC1>OC=R . Сложив почленно неравенства m_a+m_b 3R и m_c>R , получим, что m_a+m_b+m_c 4R . Из неравенств a+b+с>m_a+m_b+m_c и m_a+m_b+m_c 4R следует, что a+b+с>4R . По теореме синусов a=2R sin α , b=2R sin β , c=2R sin γ , значит,

a+b+c=2R sin α+2R sin β+2R sin γ = 2R( sin α+ sin β+ sin γ) > 4R,
откуда sin α+ sin β+ sin γ>2 , что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4681