Условие
В пирамиде ABCD плоские углы DAB , ABC , BCD –
прямые. Вершины M , N , P , Q правильного тетраэдра
расположены соответственно на рёбрах AC , BC , AB , BD
пирамиды ABCD . Ребро MN параллельно ребру AB .
Найдите отношение объёмов правильного тетраэдра MNPQ и
пирамиды ABCD
Решение
Поскольку MNPQ – правильный тетраэдр (рис.1), PQ 
MN , а
т.к. MN || AB , то PQ || AD , значит PQ AB .
Пусть QO – высота правильного тетраэдра MNPQ , а DH –
высота пирамиды ABCD . Тогда точки B , O и H лежат
на одной прямой – проекции наклонной BD на плоскость ABC .
Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что AH AB и
CH BC , поэтому ABCH – прямоугольник. Его диагонали
AC и BH равны и делятся их точкой пересечения E пополам.
Пусть ребро правильного тетраэдра MNPQ равно a .
Вершины M и N равностороннего треугольника MNP лежат
соответственно на гипотенузе AC и на катете BC прямоугольного
треугольника ABC , а вершина P – на катете AB , причём
MN || AB (рис.2), поэтому
BPN = MNP = 60o,
BP = 
NP = 
,
BN = 
.
Продолжим отрезок
PO до пересечения с
MN и
AC в точках
G
и
F соответственно. Обозначим
EOF = BOP = OBC = EBC = ECB = EFO=
α.
Из прямоугольного треугольника
BPO находим, что
tg α = 
= 
=
.
Тогда
cos α = 
= 
=
,
BO = 
= 
=
,
FG = 
= 
=
= 
,
OF = OG+FG = 
+ =.
Из равнобедренного треугольника
OEF находим, что
OE = 
= 
=
,
Следовательно,
AC=2BE = 2(BO+OE) = 2(+
)=
,
BC = AC cos α = · =
,
AB=BC tg α = · =
,
SΔ ABC = BC· AB =
· · =
.
Из подобия прямоугольных треугольников
QOB и
DHB (рис.1) находим, что
= 
= 
=
= 
.
Следовательно,
=
=
·
= 
· =
· =
.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
9032 |
