Задача 111586

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В пирамиде ABCD плоские углы DAB , ABC , BCD – прямые. Вершины M , N , P , Q правильного тетраэдра расположены соответственно на рёбрах AC , BC , AB , BD пирамиды ABCD . Ребро MN параллельно ребру AB . Найдите отношение объёмов правильного тетраэдра MNPQ и пирамиды ABCD

Решение

Поскольку MNPQ – правильный тетраэдр (рис.1), PQ MN , а т.к. MN || AB , то PQ || AD , значит PQ AB . Пусть QO – высота правильного тетраэдра MNPQ , а DH – высота пирамиды ABCD . Тогда точки B , O и H лежат на одной прямой – проекции наклонной BD на плоскость ABC . Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что AH AB и CH BC , поэтому ABCH – прямоугольник. Его диагонали AC и BH равны и делятся их точкой пересечения E пополам. Пусть ребро правильного тетраэдра MNPQ равно a . Вершины M и N равностороннего треугольника MNP лежат соответственно на гипотенузе AC и на катете BC прямоугольного треугольника ABC , а вершина P – на катете AB , причём MN || AB (рис.2), поэтому

BPN = MNP = 60^o, BP = NP = , BN = .
Продолжим отрезок PO до пересечения с MN и AC в точках G и F соответственно. Обозначим
EOF = BOP = OBC = EBC = ECB = EFO= α.
Из прямоугольного треугольника BPO находим, что
tg α = = = .
Тогда
cos α = = = ,

BO = = = , FG = = = = ,

OF = OG+FG = + =.
Из равнобедренного треугольника OEF находим, что
OE = = = ,
Следовательно,
AC=2BE = 2(BO+OE) = 2(+)= ,

BC = AC cos α = · = , AB=BC tg α = · = ,

S_{Δ ABC} = BC· AB = · · = .
Из подобия прямоугольных треугольников QOB и DHB (рис.1) находим, что
= = = = .
Следовательно,
= = · = · = · =.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	9032