Задача 111595

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Отрезки AB и CD не параллельны и не пересекаются. Точка P лежит на отрезке AB, а точка Q – на отрезке CD. Точки K, L, M и N – середины отрезков AQ, BQ, CP и DP соответственно. Докажите, что отрезки KL, MN и PQ пересекаются в одной точке.

Решение

Отрезок KL – средняя линия треугольника AQB, значит, KL || AB. Поэтому прямая KL содержит среднюю линию треугольника AQP, то есть проходит через середину отрезка PQ. Аналогично докажем, что отрезок MN также проходит через середину PQ. Таким образом, отрезки KL, MN и PQ пересекаются в середине отрезка PQ.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4690