Задача 111598
Условие
Точки A', B' и C' – середины сторон соответственно
BC, CA и AB треугольника ABC, а BH – его высота.
Докажите, что если описанные окружности треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M, то ∠ABM = ∠CBB'.
Решение
Медиана HA' прямоугольного треугольника BHC равна половине гипотенузы BC, значит, треугольник CA'H – равнобедренный.
Пусть O – центр описанной окружности Ωc этого треугольника. Тогда OA' ⊥ HC || A'C'. Следовательно, прямая A'C' касается Ωc. Аналогично A'C' касается описанной окружности Ωa равнобедренного треугольника AC'H. Как известно, продолжение общей хорды MH окружностей Ωc и Ωa пересекает общую касательную A'C' этих окружностей в середине S отрезка A'C' (см. задачу 52779). Заметим, что точка S лежит на медиане BB' треугольника ABC.Четырёхугольник CA'MH вписан в окружность Ωc, поэтому ∠A'MH = 180° – ∠C. Аналогично ∠C'MH = 180° – ∠A. Значит,
∠A'MC' = ∠C + ∠A = 180° – ∠B = 180° – ∠A'BC', поэтому четырёхугольник A'BC'M – вписанный, то есть описанная окружность Ωb треугольника A'BC' тоже проходит через точку M.
При симметрии относительно серединного перпендикуляра l к отрезку A'C' окружность Ωb переходит в себя. Так как HS – медиана прямоугольного треугольника BHB', то треугольник HSB' – равнобедренный и его высота лежит на прямой l, поэтому прямые SH и SB' также симметричны относительно l. Значит, точка M пересечения прямой SH и окружности Ωb при симметрии относительно l переходит в точку N пересечения прямой SB' (то есть прямой BB') и окружности Ωb. Следовательно, дуги C'M и A'N этой окружности, не содержащие точки B, равны, а потому
∠ABM = ∠C'BM = ∠A'BN = ∠CBB'.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4693 |
