Задача 111616

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают его стороны в точках A₁ и C₁, а описанную окружность этого треугольника – в точках A₀ и C₀ соответственно. Прямые A₁C₁ и A₀C₀ пересекаются в точке P. Докажите, что отрезок, соединяющий P с центром I вписанной окружности треугольника ABC, параллелен AC.

Решение

Tреугольник CAC₀ подобен треугольнику AC₁C₀ по двум углам  (∠BAC₀ = ∠BCC₀ = ∠ACC₀),  поэтому  CC₀ : AC₀ = AC₀ : C₁C₀,  а так как  AC₀ = IC₀  (см. задачу 53119), то  CC₀ : IC₀ = IC₀ : C₁C₀,  значит, при гомотетии с центром C₀ и коэффициентом ^CC₀/_IC0 точка C переходит в точку I, точка I – в точку C₁, прямая AC – в некоторую прямую l, проходящую через точку I параллельно AC, а прямая m, проходящая через точку I параллельно A₁C₁, – в прямую C₁A₁. Поэтому точка Q пересечения прямых m и AC переходит в точку P' пересечения прямых A₁C₁ и l. Следовательно, точка C₀ лежит на прямой QP'. Аналогично точка A₀ лежит на прямой QP'. Tаким образом, точка P пересечения прямых A₁C₁ и A₀C₀ совпадает с точкой P', а значит, лежит на прямой l, проходящей через точку I параллельно AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4161