Задача 111617

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Через точку пересечения высот остроугольного треугольника ABC проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.

Решение

Пусть высоты AA0 , BB0 и CC0 треугольника ABC пересекаются в точке H . Окружность, проходящая через точку O , касается стороны BC в точке A0 и при этом HA0 BC , поэтому A0H – диаметр окружности. Аналогично, HB0 и HC0 – диаметры остальных окружностей. Пусть окружности с диаметрами HA0 и HB0 пересекаются в точке C1 . Тогда из точки C1 эти диаметры видны под прямым углом, поэтому точка C1 лежит на отрезке A0B0 . Аналогично, точка A1 пересечения окружностей с диаметрами HB0 и HC0 лежит на отрезке B0C0 , а точка B1 пересечения окружностей с диаметрами HA0 и HC0 – на отрезке A0C0 . Вершины треугольника A0B0C0 – основания высот остроугольного треугольника ABC , поэтому A0A , B0B и C0C – биссектрисы углов треугольника A0B0C0 (ортотреугольника треугольника ABC ). При симметрии относительно прямой AA0 окружность с диаметром A0H переходит в себя, а луч A0C1 – в луч A0B1 , поэтому точки B1 и C1 симметричны относительно прямой AA0 , значит, B1C1 AA0 , а т.к. AA0 BC , то B1C1 || BC . Аналогично, A1B1 || AB и A1C1 || AC . Следовательно, треугольник A1B1C1 подобен треугольнику ABC . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4162