Условие
Окружность
σ касается равных сторон
AB и
AC
равнобедренного треугольника
ABC и пересекает сторону
BC в точках
K и
L . Отрезок
AK пересекает
σ
второй раз в точке
M . Точки
P и
Q симметричны точке
K относительно точек
B и
C соответственно. Докажите,
что описанная окружность треугольника
PMQ касается
окружности
σ .
Решение
Пусть
D и
E – точки касания окружности со сторонами
AB и
AC . Тогда
AD=AE , поэтому углы при основании
DE равнобедренного треугольника
ADE равны углам при
основании
BC равнобедренного треугольника
ABC , значит,
DE || BC .
При гомотетии с центром
A и коэффициентом
точка
M переходит в точку
K , окружность
σ –
в некоторую окружность
σ1
, проходящую через
точку
K , точка
D касания прямой
AB с окружностью
σ –
в точку
D' касания прямой
AD с окружностью
σ1
,
отрезок
MD – в параллельный ему отрезок
KD' .
По теореме о касательной и секущей
BD2 = BL· BK =BD'2,
значит,
BD=BD' , а т.к.
BK=BP , то четырёхугольник
DKD'P – параллелограмм, поэтому
DP || KD' .
Следовательно, точки
M ,
D и
P лежат на одной прямой.
Аналогично, точки
M ,
E и
Q лежат на одной прямой.
При гомотетии с центром
M , переводящей точку
D в точку
P , точка
E переходит в точку
Q , треугольник
DME –
в треугольник
PMQ , а окружность, описанная около треугольника
DME – в окружность, описанную около треугольника
PMQ . Следовательно, эти две окружности касаются в точке
M .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
4165 |
