Задача 111620

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Окружность σ касается равных сторон AB и AC равнобедренного треугольника ABC и пересекает сторону BC в точках K и L . Отрезок AK пересекает σ второй раз в точке M . Точки P и Q симметричны точке K относительно точек B и C соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника PMQ касается окружности σ .

Решение

Пусть D и E – точки касания окружности со сторонами AB и AC . Тогда AD=AE , поэтому углы при основании DE равнобедренного треугольника ADE равны углам при основании BC равнобедренного треугольника ABC , значит, DE || BC . При гомотетии с центром A и коэффициентом точка M переходит в точку K , окружность σ – в некоторую окружность σ1 , проходящую через точку K , точка D касания прямой AB с окружностью σ – в точку D' касания прямой AD с окружностью σ1 , отрезок MD – в параллельный ему отрезок KD' . По теореме о касательной и секущей

BD2 = BL· BK =BD'2,
значит, BD=BD' , а т.к. BK=BP , то четырёхугольник DKD'P – параллелограмм, поэтому DP || KD' . Следовательно, точки M , D и P лежат на одной прямой. Аналогично, точки M , E и Q лежат на одной прямой. При гомотетии с центром M , переводящей точку D в точку P , точка E переходит в точку Q , треугольник DME – в треугольник PMQ , а окружность, описанная около треугольника DME – в окружность, описанную около треугольника PMQ . Следовательно, эти две окружности касаются в точке M .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4165