Версия для печати
Убрать все задачи

---

Как с помощью наименьшего числа прямолинейных разрезов разрезать квадрат на единичные квадраты

a) если части нельзя накладывать (т.екаждый раз можно разрезать только одну часть)

b) если части можно накладывать.

c) если перед разрезами квадрат можно сложить? (Ответ: достаточно одного разреза)

   Решение

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность σ касается равных сторон AB и AC равнобедренного треугольника ABC и пересекает сторону BC в точках K и L . Отрезок AK пересекает σ второй раз в точке M . Точки P и Q симметричны точке K относительно точек B и C соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника PMQ касается окружности σ .

Решение

Пусть D и E – точки касания окружности со сторонами AB и AC . Тогда AD=AE , поэтому углы при основании DE равнобедренного треугольника ADE равны углам при основании BC равнобедренного треугольника ABC , значит, DE || BC . При гомотетии с центром A и коэффициентом точка M переходит в точку K , окружность σ – в некоторую окружность σ1 , проходящую через точку K , точка D касания прямой AB с окружностью σ – в точку D' касания прямой AD с окружностью σ1 , отрезок MD – в параллельный ему отрезок KD' . По теореме о касательной и секущей

BD2 = BL· BK =BD'2,
значит, BD=BD' , а т.к. BK=BP , то четырёхугольник DKD'P – параллелограмм, поэтому DP || KD' . Следовательно, точки M , D и P лежат на одной прямой. Аналогично, точки M , E и Q лежат на одной прямой. При гомотетии с центром M , переводящей точку D в точку P , точка E переходит в точку Q , треугольник DME – в треугольник PMQ , а окружность, описанная около треугольника DME – в окружность, описанную около треугольника PMQ . Следовательно, эти две окружности касаются в точке M .

Источники и прецеденты использования