Условие
Биссектрисы BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке I. Прямая B1C1 пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках
M и N. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника MIN вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника ABC.
Решение
Продолжим биссектрисы BB1 и CC1 треугольника ABC до пересечения с его описанной окружностью в точках
B0 и C0 соответственно.
Как известно (см. задачу 53119), AB0 = IB0 = IC0. Значит, треугольники B0AC0 и B0IC0 равны по трём сторонам.
Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC равен R. Через вершину A проведём прямую, параллельную B0C0, и продолжим BB0 и CC0 до пересечения с этой прямой в точках B2 и C2 соответственно. Прямая B0C0 – серединный перпендикуляр к отрезку AI, поэтому B0C0 – средняя линия треугольника B2IC2. Следовательно, радиус R1 описанной окружности треугольника B2IC2 вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника
B0IC0, а так как треугольник B0IC0 равен треугольнику B0AC0, то R1 вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника B0AC0, то есть R1 = 2R.
Заметим, что ∠AB2I = ∠C0B0B = ∠C0CB = ∠ACI, то есть из точек B2 и C, лежащих по одну сторону от прямой AI, отрезок AI виден под одним и тем же углом. Значит, точки B2, C, I, A лежат на одной окружности. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд AB1·CB1 = IB1·B2B1. С другой стороны, AB1·CB1 = MB1·NB1, так как точки M, N, A и C лежат на одной окружности (описанной окружности треугольника ABC). Значит,
MB1·NB1 = IB1·B2B1. Следовательно, точка B2 лежит на описанной окружности треугольника IMN . Аналогично точка C2 также лежит на этой окружности. Таким образом, описанная окружность треугольника IMN совпадает с описанной окружностью треугольника B2IC2, а радиус этой окружности равен 2R.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
4167 |
