Задача 111625

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Биссектриса угла ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH к гипотенузе AB. Биссектрисы углов CAB и BCH пересекаются в точке M, а биссектрисы углов CBA и ACH – в точке N. Докажите, что  MN || AB.

Решение

Пусть CP и CQ – биссектрисы треугольников BCH и ACH соответственно. Обозначим  ∠CAM = α.  Тогда  ∠BCH = ∠BAC = 2α,  ∠MCH = α,
∠ACH = 90° – 2α,  ∠ACM = 90° – α,  ∠AMC = 180° – ∠CAM – ACM = 90°,  поэтому AM – высота и биссектриса треугольника CAP. Значит, этот треугольник – равнобедренный, а AM – его медиана, то есть M – середина отрезка CP. Аналогично N – середина отрезка CQ. Таким образом, MN – средняя линия треугольника PCQ, поэтому  MN || PQ = AB.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4170