ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111647
Тема:    [ Задачи на движение ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Несколько спортсменов стартовали одновременно с одного и того же конца прямой беговой дорожки. Их скорости различны, но постоянны. Добежав до конца дорожки, спортсмен мгновенно разворачивается и бежит обратно, затем разворачивается на другом конце, и т.д. В какой-то момент все спортсмены снова оказались в одной точке. Докажите, что такие встречи всех будут продолжаться и впредь.


Решение

  Пусть длина дорожки равна 0,5 (км). Если один из спортсменов в некоторый момент догнал другого, то разность  s1s2  пройденных ими к этому моменту путей – целое число. Если же два спортсмена встретились, то сумма  s1 + s2  – целое число.
  По условию в некоторый момент t все числа вида  si ± sj  (при некотором выборе знака для каждой пары) целые. Но тогда и во все моменты nt (где n – натуральное) соответствующие суммы  n(si ± sj)  будут целыми.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2008/2009
Номер 30
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .