Задача 111664

Темы:    [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В прямоугольник ABCD вписаны два различных прямоугольника, имеющих общую вершину K на стороне AB . Докажите, что сумма их площадей равна площади прямоугольника ABCD

Решение

Известно, что если один параллелограмм вписан в другой, то центры этих параллелограммов совпадают. Следовательно, центры прямоугольников, о которых говорится в условии задачи, совпадают с центром O прямоугольника ABCD . Тогда вписанные прямоугольники имеют общую диагональ KL . Пусть M и N — вершины соответственно первого и второго прямоугольников, лежащие на стороне BC прямоугольника ABCD . Отрезок KL виден из точек M и N под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром KL . Перпендикуляр, опущенный из центра O этой окружности делит пополам и хорду MN , и сторону BC , поэтому BM=CN . Пусть площадь прямоугольника ABCD равна 2s . Тогда площадь трапеции KBCL равна s , т.е.

s=(BK+CL)BC= (BK+AK)BC= AB· BC.
Далее имеем:
S_{Δ KML} = s-S_{Δ KBM}-S_{Δ CML}, S_{Δ KNL} =s-S_{Δ KBN}-S_{Δ LCN},

S_{Δ KML}+S_{Δ KNL} = 2s-(S_{Δ KBM}+S_{Δ LCM})- (S_{Δ KBN}+S_{Δ LCN})=

=2s-(S_{Δ KBM}+S_{Δ KBN})- (S_{Δ LCM}+S_{Δ LCN})=

=2s-(KB· BM+KB· BN)- (LC· CM+LC· CN)=

=2s-KB(BM+BN)-LC(CM+CN)=

=2s-KB(CN+BN)-LC(CM+BM)= 2s-KB· BC-LC· BC=

=2s-BC(KB+CL)=2s-BC· AB= 2s-s=s,
откуда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4182