Задача 111668

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники.
Докажите, что их центры образуют правильный треугольник, причём его центр совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC.

Решение

Заметим, что если через точку T, лежащую на стороне YZ равностороннего треугольника XYZ с центром O и делящую это сторону в отношении
YT : TZ = 1 : 2,  провести прямую, параллельную стороне XY (рис. слева), то эта прямая пройдёт через точку O и  ∠ZOT = 90°. Отметим на сторонах AB и AC данного треугольника ABC такие точки K и L, что  BK : AK = 1 : 2  и  CL : AL = 1 : 2  (рис. справа). Тогда  KL || BC,  а середина M отрезка KL – точка пересечения медиан треугольника ABC. Построим внешним образом на сторонах AK и AL треугольника AKL как на гипотенузах прямоугольные треугольники AC₁K и AB₁L с углами 60° при вершинах K и L. Тогда точки C₁ и B₁ – центры правильных треугольников, о которых говорится в условии задачи. Согласно задаче 111667  MC₁ = MB₁  и  ∠B₁MC₁ = 2∠ALB₁ = 120°.  Если A₁ – центр равностороннего треугольника, построенного внешним образом на стороне BC, то аналогично  MA₁ = MB₁  и  ∠A₁MB₁ = 120°.  Следовательно, A₁B₁C₁ – равносторонний треугольник, а M – его центр.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4186