Задача 111671

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что проекции основания высоты треугольника на стороны, её заключающие, и на две другие высоты лежат на одной прямой.

Решение

  Пусть AA₁, BB₁ и CC₁ – высоты треугольника ABC, K и N – проекции точки B₁ на AB и BC, L и M – проекции точки B₁ на AA₁ и CC₁ соответственно. Прямые B₁K и CC₁ параллельны, поэтому треугольник AB₁K подобен треугольнику ACC₁. Аналогично треугольник AB₁L подобен треугольнику ACA₁. Значит,   KB₁ : CC₁ = AB₁ : AC = LB₁ : A₁C,  а так как  KB₁ || CC₁,  то треугольник KLB₁ подобен треугольнику C₁A₁C. Поэтому  KL || A₁C₁.
  Пусть H – ортоцентр треугольника ABC. Треугольник BC₁H подобен треугольнику BKB₁, а треугольник BNB₁ – треугольнику BA₁H, поэтому
BC₁ : BK = BH₁ : BB₁ = BA₁ : BN,  значит,  KN || A₁C₁,  а так как  KL || A₁C₁, то точки K, L и N лежат на одной прямой. Аналогично точка M лежит на этой же прямой.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4189