Задача 111692

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Богданов И.И.

Дана неравнобокая трапеция ABCD. Точка A₁ – это точка пересечения описанной окружности треугольника BCD с прямой AC,
отличная от C. Аналогично определяются точки B₁, C₁, D₁. Докажите, что A₁B₁C₁D₁ – тоже трапеция.

Решение

  Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Так как четырёхугольник A₁BCD вписан в окружность, то  BO·OD = A₁O·OC.  Аналогично
BO·OD = AO·OC₁,  AO·OC = BO·OD₁  и  AO·OC = B₁O·OD.
  Из первых двух равенств следует, что  OC : AO = OC₁ : A₁O,  из двух других –  BO : OD = B₁O : OD₁.
  Условие параллельности сторон BC и AD трапеции ABCD можно записать в виде  BO : OD = OC : AO  (из подобия треугольников BOC и DOA).
  Но тогда  BO₁ : OD₁ = OC₁ : A₁O,  то есть  B₁C₁ || A₁D₁.
  Аналогично проверяем, что из непараллельности сторон AB и CD следует непараллельность сторон A₁B₁ и C₁D₁.
  Таким образом, A₁B₁C₁D₁ – трапеция.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2008/2009
Номер	30
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	4